演習問題 1.36

演習 1.36の解答です。

凸関数の条件(弦が関数の上にある)を示す式(1.114)を、関数の2階微分が正である、という条件から求める問題です。
テイラーの公式で f(x) を点 x_0 周りに展開し、2階微分が正である条件から不等式を導きます。
あとは、 x_0 を2つの端点 x=ax=b の内分点に設定し、端点で成り立つ条件を整理すれば求まります。
解答中の図の意味を確認してください。

prml exercise solution 1.37

『演習問題 1.36』へのコメント

  1. 名前:ignorabimus 投稿日:2017/09/18(月) 15:06:31 ID:c80dbd6a2 返信

    はじめまして。いつも演習問題の解説をありがとうございます。
    一人でPRMLを読んでいるので大変助かっています。

    この問題ですが、「関数が真に凸であること」と「二階微分が正」であることが同値であることを示さないといけないため、
    「二階微分が正」->「関数が真に凸」であることだけでなく、
    「関数が真に凸」->「二階微分が正」という方向も示す必要があると思います。

    いかがでしょうか。

    • 名前:yutorihiro 投稿日:2017/10/01(日) 22:47:36 ID:38bc9f7f2 返信

      ignorabimusさん、コメントありがとうございます。

      ご指摘の点ですが、その通りです。逆も示さなくてはいけませんね。
      追って記事修正いたします。