演習問題 1.36

2017/8/2 第1章-序論

演習 1.36の解答です。

凸関数の条件（弦が関数の上にある）を示す式(1.114)を、関数の2階微分が正である、という条件から求める問題です。
テイラーの公式で $f(x)$ を点 $x_0$ 周りに展開し、２階微分が正である条件から不等式を導きます。
あとは、 $x_0$ を２つの端点 $x=a$ と $x=b$ の内分点に設定し、端点で成り立つ条件を整理すれば求まります。
解答中の図の意味を確認してください。

prml exercise solution 1.37

『演習問題 1.36』へのコメント

名前:ignorabimus 投稿日：2017/09/18(月) 15:06:31 ID：c80dbd6a2 返信

はじめまして。いつも演習問題の解説をありがとうございます。
一人でPRMLを読んでいるので大変助かっています。

この問題ですが、「関数が真に凸であること」と「二階微分が正」であることが同値であることを示さないといけないため、
「二階微分が正」->「関数が真に凸」であることだけでなく、
「関数が真に凸」->「二階微分が正」という方向も示す必要があると思います。

いかがでしょうか。
- 名前:yutorihiro 投稿日：2017/10/01(日) 22:47:36 ID：38bc9f7f2 返信
  
  ignorabimusさん、コメントありがとうございます。
  
  ご指摘の点ですが、その通りです。逆も示さなくてはいけませんね。
  追って記事修正いたします。