演習2.10の解答です。
ディリクレ分布の平均、分散、共分散を求める問題。
ディリクレ分布が正規化されているという条件から、正規化項の式を求めて、それを使います。
期待値を計算する際は、①対象の関数、②確率密度関数、③積分をとるパラメータ の3つをよく確認しましょう。
分散も共分散も期待値から計算されるので同じです。
今回の問題では、 の場合、
①対象の関数
②確率密度関数
③積分をとるパラメータ
です。
共分散の表記ですが、本では となっていますが、正しくは
です。
また、式(1.41)に従えば、 のように添え字付きになりますが、②確率密度関数が共通(
)で、③積分をとるパラメータも共通(
)なので、添え字を省略しています。