演習問題 2.38

演習2.38の解答です。

ガウス分布において、一連の観測 ${\bf X}=\{x_1,...,x_N\}$ を得た時に、平均 $\mu$ をベイズ推定する問題。ただし、分散 $\sigma^2$ は既知とします。
具体的には、式(2.141),(2.142)を導出します。

ベイズの公式から、 $\mu$ の事前分布 $p(\mu)$ を設定し、尤度 $p({\bf X}|\mu)$ との積を取ると、事後確率 $p(\mu|{\bf X})$ に比例します(2.139)。

(2.137)の尤度 $p({\bf X}|\mu)$ は $x$ の分布の式なのに、答えは $\mu$ の分布の式となる、というところが混乱の種になるかもしれませんが、(2.137)は $\mu$ の分布とも解釈できることに注意してください。
ベイズ推定では、事前知識を決め打ちではなく分布の形で表すので、こういうことができます。

prml exercise solution 2.38