演習問題 2.55

演習2.55の解答です。

フォン・ミーゼス分布について、集中パラメータ $m$ の最尤解 $m_{\rm ML}$ について、 $A(m_{\rm ML})=\bar{r}$ となることを示す問題。

解答は簡単ですが、(2.185)の関数 $A(m)$ について教科書で説明が少ないので補足すると、 $A(m)$ は平均合成ベクトルの長さを意味します。

円周上の分布について、それぞれの点を軸ごとに分解(ベクトル化)し、足し合わせて平均を取ったベクトルについて、その偏角が、平均方向( $\bar{\theta}$ もしくは $\theta_{\rm ML}$ ) となることは演習2.53で見ました。
偏角が平均方向であるのに対し、その足し合わせたベクトルの大きさが、合成ベクトル長 $A(m)$ となります。

これがどういう意味を持つかというと、その分布の集中具合を表します。分布が集中するほど(集中パラメータ $m$ が大きいほど)、その分布のベクトルを足し合わせたベクトルの長さ $A(m)$ は1に近づいて行きます。完全に集中すれば1になり、逆に完全に方向が分散している、つまり円周上に一様に分布していれば、それらのベクトルを足し合わせると0になります。教科書の図2.20を確認してください。

サンプルから $m$ の最尤解 $m_{\rm ML}$ を求めたい時には、直接は求められず、関数 $A(m)$ を介して、 $A(m_{\rm ML})=\bar{r}$ となるように求められます。つまり、 $m_{\rm ML} = A^{-1}(\bar{r})$ です。

prml exercise solution 2.55